A função quadrática aparece em várias situações do dia a dia, como em corridas de táxi, crescimento de colônias de bactérias e até em lançamentos oblíquos na física. Mas, além dessas aplicações, ela também tem grande importância na matemática financeira, especialmente para calcular receita, custo e lucro de uma empresa.
Neste artigo, você vai aprender como a função quadrática pode ser usada para encontrar o lucro máximo, um tema muito comum em provas como o Enem.
Entenda os conceitos fundamentais da função quadrática na matemática financeira
Antes de entrar nos cálculos, é importante entender três conceitos fundamentais:
- Receita (R(x)): é todo o faturamento da empresa.
- Custo (C(x)): são todos os gastos necessários para produzir o produto ou serviço, incluindo custo fixo e custo variável.
- Lucro (L(x)): é a diferença entre a receita e o custo. Se a receita for maior que o custo, há lucro; caso contrário, ocorre prejuízo.
Na matemática, podemos representar essas ideias com funções:
- Receita: R(x)
- Custo: C(x)
- Lucro: L(x) = R(x) – C(x)
Em muitos casos, a função lucro assume a forma de uma função quadrática.
Em especial, a função custo pode ser expressa como C(x) = Cf + Cv, onde a função custo é a soma entre o custo fixo e o custo variável. Além disso, podemos calcular a função lucro como F(x) = R(x) – C(x), ou seja, lucro é a diferença entre receita e custo.
Exemplo:
Uma hamburgueria deseja vender, por mês, 20-x hambúrgueres a um preço x, sabendo que a empresa tem um custo de R$ 8 para cada hambúrguer fabricado, apresente as funções custo, receita e lucro e calcule o custo de venda para que o lucro seja máximo.
Função custo: C(x) = 8 * (20 – x) -> valor do custo multiplicado pelo número de hambúrgueres
Função receita: R(x) = x (20 – x) -> faturamento dos hambúrgueres a um preço xFunção lucro: F(x) = R(x) – C(x), logo:
F(x) = x(20 – x) – (8 * (20 -x))
F(x) = 20x – x² – (160 – 8x)
F(x) = 20x – x² – 160 + 8x, portanto
F(x) = – x² + 28x – 160.
Como calcular o lucro máximo na função quadrática
O lucro máximo é obtido através do valor de x na fórmula do vértice em uma parábola, sendo: Xv = -(b/2a)
Aplicando a fórmula do lucro máximo na F(x) teremos que:
a= -x²
b= 28x
c = -160
Xv = -(28/(-2)) -> 28/2 = 14.
Ou seja, para os hambúrgueres terem lucro máximo no mês, ela deve vender os hambúrgueres a 14 reais cada.
Questão do Enem sobre lucro máximo
No Enem, as questões que cobram lucro máximo são muito comuns e, normalmente, tem o caráter fácil, como essa da segunda aplicação do Exame de 2013:
Na questão, a função lucro está explícita no enunciado sendo L(x) = -x² + 12x -20 e é cobrado o lucro máximo.
Como já temos a função quadrática do lucro, basta aplicarmos a fórmula do lucro máximo:
a = – x²
b = 12x
c = -20
Xv = -(b/2a) -> -(12/(-2)) -> 12/2 = 6.
Por fim, essa é apenas uma das várias aplicações da função quadrática. Nesse caso, voltado para o Enem, não se costuma pedir a montagem das três funções financeiras. Ao invés disso, optaram pelo cálculo do lucro máximo, facilitando as questões.
Curtiu as dicas? Depois de aprender sobre a função quadrática, dê um passo a mais na sua preparação e confira também nosso material sobre porcentagem, que pode fazer a diferença na hora da prova.
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